Уже самому Кантору были известны парадоксы теории множеств, попросту говоря, противоречия в ней, возникавшие на её окраинах и связанные именно с неограниченной свободой в образовании самых общих понятий. Положение это, по существу, было нетерпимым — ведь по тем же законам классической, аристотелевской логики, имея противоречие, можно доказать всё, что угодно. Вот пример парадокса, известного Кантору, и показывающего опасность чрезвычайно общих понятий. Кантором была доказана красивая теорема о том, что по всякому множеству можно найти множество большей мощности, содержащее «большее» число элементов [47] . Применение этого результата к множеству всех множеств приводит к немедленному, очевидному противоречию, напоминающему, кстати, парадоксальные ситуации в физике, когда речь идёт о «всей» Вселенной. Наиболее знаменитый из парадоксов был открыт в начале XX века английским философом и математиком Бертраном Расселом (Russel, Bertrand 1872–1970). Интересно, что и в случае парадокса Рассела источником беды являлась именно неограниченная свобода в образовании множеств, чрезвычайная общность этого понятия. Сам же парадокс, в сущности, воспроизводил в рамках теории множеств ситуации, известные с глубокой античности [48] .

Теория Множеств Кантора, встретив поначалу серьёзные возражения, постепенно утвердилась в качестве главной методологии математики. Ряд поразительных открытий был сделан на этом пути. Достаточно упомянуть формулировку в 1904 г. немецким математиком Эрнстом Цермело (Zermelo, Ernst 1871–1953) аксиомы, носящей его имя (и называемой также Аксиомой Выбора). Этот принцип чрезвычайно общей природы давно употреблялся в математике, но его не выделяли и не замечали. Между тем, Аксиома Выбора позволила строго доказать совершенно поразительные утверждения. Пожалуй, самым эффектным из них является так называемый парадокс Банаха-Тарского (1920 г.): любой шар можно разбить на конечное число частей, из которых надлежащими перемещениями их в пространстве можно составить два точно таких же шара. Просто чудеса из Библии, но на сей раз в математике! Термин «парадокс» применяется к этой корректно доказанной теореме ввиду невероятности полученного результата. Воистину эти разбиения и «надлежащие» перемещения уже более принадлежат Б-жественной Сущности, чем нашей. Но также сильно чувствуется, что созданы мы по Образу и Подобию, коль скоро способны заметить усилием интеллектуального воображения тени этих «надлежащих» перемещений. Последовавшее изучение природы Аксиомы Выбора и некоторых других принципов теории множеств привело к открытиям, сравнимым по значению с открытием неевклидовой геометрии или теории относительности в физике.

Естественно, что укоренение теории множеств в качестве языка математики вызвало горячие дискуссии ведущих математиков конца 19-го начала 20-го века. Дискуссии эти продолжаются по сей день, что неудивительно, поскольку речь идёт о самом фундаменте математики.

Одной из реакций на открытие противоречий была идея ограничения понятия множества (на что указывал уже сам Кантор), построение аксиоматических систем теории множеств, исключающих известные парадоксы. Большой вклад принадлежит здесь Цермело, разработавшему самую известную аксиоматику теории множеств, и великому немецкому математику Давиду Гильберту (Hilbert, David 1862–1943), выдвинувшему программу обоснования теоретико-множественной математики [49] посредством надёжных, финитных доказательств непротиворечивости, формализующих её аксиоматических систем. Мы не можем здесь углубляться в эту интереснейшую и труднейшую область математики. Заметим лишь, что отсутствие противоречий в этих аксиоматических системах, начиная с формальной арифметики, не доказано и знаменитые результаты Гёделя (Gцdel, Kurt 1906–1978) указывают, что никаких надежд на решающий прогресс в этом направлении нет.

Принципиально другой была реакция математиков, которые не могли согласиться с самими принципами, на которых покоился теоретико-множественный подход. Эти учёные подчёркивали удалённость построений теории множеств от конструктивных, реальных возможностей человека. Таким образом, появились конструктивистские направления в математике, отвергавшие актуальную бесконечность (сомнения в её допустимости восходят к Аристотелю, т. е. к четвёртому веку до нашей эры!), математическую Вселенную Кантора и соответственно универсальный характер закона исключённого третьего. Естественным выводом была необходимость радикальной перестройки практически всего здания математики.

Для человека, наблюдающего возникшую острейшую полемику со стороны, самым поразительным могло оказаться невероятное, трагическое различие в понимании истины учёными огромных дарований, безупречной честности и одушевлённых беспредельной любовью к своей науке. И это в Математике, Царице наук, отличающейся по всеобщему мнению особенной, безукоризненной точностью и строгостью! Тут есть о чём задуматься, здесь есть, безусловно, и драматический и литературный материал, ещё ожидающий своего Шекспира. И возникает крамольная мысль: а так ли уж строже, точнее математика, чем, скажем, химия? Интереснейшую статью на эту и многие другие темы написал известный математик и филолог, профессор Московского Университета Владимир Андреевич Успенский [50] , с которым я имею счастье быть близко знакомым в течение многих лет.

Вообще, оглядываясь на динамику кризиса оснований математики, можно заметить аналогию с событиями в литературе, искусстве. И там были различного рода реакции на романтизм, порою весьма резкие. Кого только не сбрасывали с кораблей современности. При взгляде с расстояния времени видно, что и сами такие течения (жизнеспособные, художественно значимые из них) обретали собственную романтику…

Лютцен Брауэр

В 20-м веке было три главных конструктивных направления (перечисляю их хронологически): так называемый интуиционизм, основанный голландским математиком Лютценом Брауэром (Brouwer, Luitzen Egbertus Jan 1881–1966), конструктивная математика А.А. Маркова, Мл. и конструктивная математика американского математика Эррета Бишопа (Bishop, Errett 1928–1983).

Все три конструктивных школы разделяли резкую критику платонистской онтологии теоретико-множественной математики (иногда по контрасту с новыми течениями называемой классической). Критика эта, решающая роль в формулировках которой принадлежит Брауэру, в частности отвергала идею актуальной бесконечности, неограниченной применимости законов традиционной логики, особенно закона исключённого третьего, метафизический надсубъективный статус математических объектов. Сами эти объекты рассматривались как результаты интеллектуальной или фактической деятельности человека, а не как нечто существующее вечно и само по себе. Каждое течение развило собственное мировоззрение и строило математику, следуя таковому. При многом общем, имелись существенные философские и конкретные различия. Мы не можем здесь углубляться в эту проблему. Боюсь, я уже отпугнул многих читателей, приоткрыв дверь (или, приподняв крышку ларца Пандоры?) в опасную страну Оснований Математики [51] . Скажу только ещё несколько слов о конструктивной математике Маркова.

Вероятно корни марковского конструктивного мировоззрения лежат в его опыте естествоиспытателя, тяготеющего к осязаемости получаемых результатов, и в общей независимости его личности, не готовой автоматически следовать установившимся канонам, подвергающей их анализу и отклоняющей, если каноны этого анализа не выдерживают.

Объектом изучения в марковской математике являются конструктивные объекты и конструктивные процессы, выполняемые с этими объектами. Для всех реальных целей этой математики вполне достаточно одного общего типа конструктивных объектов — слов в алфавите. При этом, разумеется, принимаются некоторые идеализирующие соглашения, коротко говоря, допускается наша способность опознавать буквы, слова как графически одинаковые или различные. Таким образом, мы можем говорить, например, о букве «а» русского алфавита, отвлекаясь от различий в реальных появлениях этого знака в словах, которые мы пишем или печатаем. Каждый, кто сталкивался с документами, написанными плохим почерком или даже просто с печатными (не говорю уж о рукописных) текстами в готике, понимает, что здесь идёт речь именно об идеализации. С другой стороны, наша способность читать, распознавать графемы лежит в самой основе интеллектуальной деятельности человека. Целые числа, очевидно, можно трактовать как слова в алфавите, который мы видим на клавиатуре нашего компьютера, то же самое можно сказать и о рациональных числах. Скажем, 2/3, очевидно, слово. О том, как распространяется этот подход на «высшую математику», можно прочесть в уже упоминавшейся (примечание 52) моей монографии.